塾の問題に挑戦しよう！（数列編）

１．とある学校近隣塾の配布物より

■よく学校周辺の塾の方が校門前で、塾の案内チラシを配っておられるシーンに出くわしますね。子どもたちがもらってきたプリントに挑戦してみましょう。

その問題とは、こんな問題でした。

 

２．問題に挑戦

■表や絵にしたり、線分図を書いたりして、算数の問題はといていくのでした。

合言葉はこれです。

■このような、数が連続で出てくる問題は、表に書いて考えると、見えてきます。

横に、段数を書いていき、縦に何をとるかというと、それは小さい問題によって決定されます。

つまり、小問に、（１）は右側の数字を、（２）は真ん中の数字を、（３）はその合体編と左側の数字となっています。

それで、縦軸としては、左側の数字、右側の数字、中央の数字と、表してやっていきましょう。

すると、こんな表になりますね。

問題図を見ると、上の表までは作成できますよね。今、横軸の４段目まで図から完成しています。

これで終了してはいけません。もう１段位、数値を付け加えないと、本当にそうかというのがわかりません。よって、図に手書きをして、もう１段、つまり５段目がどうなるか、数値をいれていきましょう。そうすれば、関係がはっきりとしてくるかと思います。

やってみましょう。

これで、少し関係がみえてきましたよね。表で、一番大切なことは、次のことです。

ということです。

その差を次のように、間に書き込んでいくといいですよ。

■高校では、ここから「漸化式」といって、公式めいたものを作ることになりますが、ここは小学生ですので、上の表を元に、小問題に答えてみましょう。

それで、もう1問、上の問題を小学4年用にしてみましょう。

段数	1段目	2段目	3段目	4段目	5段目
三角形の枚数	1枚	3枚	5枚

１）奇数になっているので、図を追加しなくてもわかるでしょうか。7枚と9枚になります。

２）10段目は、１，３，５，７，９，１１，１３，１５，１７，１９となりますので、
19枚となります。

　これが高校数学となってくると、漸化式となって、ｎを段数とすると、三角形の枚数は
２ｎー１となります。

　これにあてはめると、２✕１０ー１＝１９となりますね。

　もちろん、小学校では、ここまでやりませんが！！

３．問題を解く！

（１）各段の右側は、（段数）✕（段数）になっているというのがわかります。それで、７段目なので、７✕７＝４９　答えは、４９ということになりますね。

（２）各段の中央値は、２からの偶数で増えていっていることがわかります。上の表では、５段目までがわかっていますので、順に１０段目までいけばわかりますね。

２１＋１０＋１２＋１４＋１６＋１８＝９１　となりますね。

式でやるとすれば、１から始まって、２からの偶数を順に９回（２✕９まで）足すことになりますよね。ずっと足していくと、大変なので、以下のように逆にして２段上下で足していくと、どこも「２０」となりますよね。

２段目・・・・・・・・・・・・・・１０段目

２＋４＋６＋８＋10＋12＋14＋16＋18
18＋16＋14＋12＋10＋８＋６＋４＋２

だから、20✕９（回）＝180

往復2回足しているので、180➗️２＝90

最後に最初の１を足せばいいので、９０＋１＝91　答えは９１です。

（３）１２✕１２＝１４４なので、１３５は、この１２段の中にあるということになります。中央値から考えてもいいし、左側の数値から考えてもいいですね。左側の数字から考えてみましょう。

先程と同じように、左側の数字は、１から始まる奇数の合計となっています。

２段目・・・・・・・・・・・・・・・・・・１２段目

１＋３＋５＋７＋９＋11＋13＋15＋17＋19＋21
21＋19＋17＋15＋13＋11＋９＋７＋５＋３＋１

２２✕１１➗️２＋１＝１２１

１３５－１２１＝１４　　だから、１２段目の左から１４番目ということになります。

４．まとめ